幻方又称魔方，或叫纵横图。它的一般定义是将从1到n2的自然数排列成纵横格有n个数的正方形，使在同一行，同一列或同一对角线上的几个数的和都相等。世界学术界都一致公认最早的幻方起源于中国。
46 81 117 102 15 76 200 203
19 60 232 175 54 69 153 78
216 161 17 52 171 90 58 75
135 114 50 87 184 189 13 68
150 261 45 38 91 136 92 27
119 104 108 23 174 225 57 30
116 25 133 120 51 26 162 207
39 34 138 243 100 29 105 152
这个八阶幻方，它的每行，每列及每条对角线上的8个数字之和全部一样，这个常数是840；然而不仅如此，它的每行、每列及每条对角线上的数字之乘积竟然也完全相同。这个常数是2，058，068，231，856，000。读者如果不信，可以自己动手算一算。
相关资料：
幻方的定义:
n阶幻方是由前n^2个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和相等
幻方的历史:
幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
所谓纵横图，它是由1到n^2,这n^2个自然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵。它具有一种厅妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，
大约两千多年前西汉时代,流传夏禹治水时,黄河中跃出一匹神马,马背上驮着一幅图,人称「河图」;又洛水河中浮出一只神龟,龟背上有一张象征吉祥的图案称为「洛书」.
他们发现,这个图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的,这就是我们现在所称的幻方.也有人认为"洛书"是外星人遗物;而"河图"则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍.另外前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写着:「万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者」,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方.
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...
后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：
S=n(n ^2+1) /2
其中n为幻方的阶数，所求的数为S.
幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的四阶幻方。
而在国外,十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载,我国的考古学家们曾经在西安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方,除了这些以外,历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方(后面会提到),而且比中国的杨辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔.
1956年西安出土一铁片板上所刻的六阶幻方(古阿拉伯数字)
十三世纪,东罗马帝国才对幻方产生兴趣,但却没有什么成果.
直到十五世纪,住在君士坦丁堡的魔索普拉才把我国的纵横图传给了欧洲人,欧洲人认为幻方可以镇压妖魔,所以把它作为护身符,也把它叫作「Magic Square」.
欧洲最早的幻方是在德国一位名画家Albrecht Dure的画里的,
上面有一个四阶幻方,而这个幻方的下面两个数字正好是这幅画的制作年代(1514年).这是欧洲最古老的幻方.
幻方世界纪录:
目前我国取得不少幻方世界纪录:幻方专家李文第一位构造成功10阶标准幻立方,第一位构造出最低阶729阶五次幻方,和多项平方幻方世界纪录,幻方专家苏茂挺第一位构成功32阶完美平方幻方.等.
提醒大家注意,任意阶幻方构造法,任意维幻方构造法,任意次幻方构造法,都早已找到.
不存在最大阶幻方的世界纪录之类.
对于各种媒体报导的幻方世界之最,很多是不实报导.不存在未解最大阶数幻方.
幻方未解难题请参看:
中国幻方网站:
http://www.zhghf.net/
法国高次幻方网站:
http://cboyer.club.fr/multimagie/index.htm
幻方的种类:
现在的幻方种类很多，如
一般幻方,对称幻方,同心幻方,完美幻方
平面幻方(二维),幻立方(三维),多维幻方,
平方幻方,立方幻方,高次幻方,高次多维幻方.
魔鬼幻方,马步幻方,多重幻方,六角幻方,双料幻
幻方欣赏:
中国幻方网站:
http://www.zhghf.net/
中国幻方博客:
http://q.blog.sina.com.cn/klxnyy/profile/
法国高次幻方网站:
http://cboyer.club.fr/multimagie/index.htm
日本多维幻方网站:
http://homepage2.nifty.com/googol/magcube/en/index.htm
富兰克林的幻方:
http://t1.baidu.com/it/u=1477471302,3332291160&gp=2.jpg
九阶平方幻方:
http://cslab.stu.edu.cn/English/Pfeffermann9.asp
编制幻方的程序
目前利用计算机编程序,可求解出任意阶幻方.(但数字位数受电脑限制,实际上只能是有限范围内的任意阶)
对于某些平方幻方,高次幻方,利用计算机辅助计算,也可快速求得.
一次幻方,一次幻立方,一次多维幻方,甚至可用简单公式全部求得.
某些类型的平方幻方,甚至高次高维幻方,也可用公式求得.
在幻方公式求解方法,我国处于世界领先水平.我国李文的高维高次幻方公式,是幻方理论中的精品.吴硕辛的高次幻方理论,也可用公式求解.
幻方的构造
在《射雕》中郭黄二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上
4 9 2
3 5 7
8 1 6
这就是一个最简单的3阶平面幻方。因为幻方的智力性和趣味性，很游戏和玩具都与幻方有关，如捉放曹、我们平时玩的六面体，也成为学习编程时的常见问题。
幻方又称纵横图、九宫图，最早记录于我国古代的洛书。据说夏禹治水时，河南洛阳附近的大河里浮出了一只乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。后人称之为"洛书"或"河图"，又叫河洛图。
南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：只要将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数也对调；最后再把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。 (摘自《趣味数学辞典》)
最简单的幻方就是平面幻方，还有立体幻方、高次幻方等。对于立体幻方、高次幻方目前世界上很多数学家仍在研究，现在只讨论平面幻方。
对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式)
⑴ N 为奇数时，最简单
(1) 将1放在第一行中间一列;
(2) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：
按 45°方向行走，如向右上
每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1
(3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。
例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1;
(4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，
则把下一个数放在上一个数的下面。
⑵ N为4的倍数时
采用对称元素交换法。
首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵
然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对
称交换，即a(i,j)与a(n-1-i,n-1-j)交换，所有其它位置上的数不变。
(或者将对角线不变，其它位置对称交换也可)
⑶ N 为其它偶数时
当n为非4倍数的偶数(即4n+2形)时：首先把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶)子方阵。
按上述奇数阶幻方给分解的4个子方阵对应赋值
上左子阵最小(i)，下右子阵次小(i+v)，下左子阵最大(i+3v)，上右子阵次大(i+2v)
即4个子方阵对应元素相差v，其中v＝n*n/4
四个子矩阵由小到大排列方式为 ① ③
④ ②
然后作相应的元素交换：a(i,j)与a(i+u,j)在同一列做对应交换(j<t或j>n-t+2),
a(t-1,0)与a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换
其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交换使每行每列与两对角线上元素之和相等。
